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Un problema di logica matematica

Un ragno vuole ispezionare la superficie esterna di una piramide a base quadrata, le cui facce laterali sono triangoli equilateri. Partendo dal centro di una faccia laterale, vuole toccare i centri di tutte le altre facce laterali, seguendo il cammino più breve possibile. Sapendo che uno spigolo della piramide misura 2, trovare la lunghezza totale del percorso. 

[Risposta: 2√3]

Massimo e i calendari

Massimo vuole risparmiare sui calendari. Allora col computer ha stampato tanti fogli con i numeri dei giorni e di fianco a ciascun numero il giorno della settimana. Ad ogni mese, Massimo sceglie il foglio opportuno e vi appoggia sopra un’etichetta (removibile) con il nome del mese. Quanti fogli deve aver stampato come minimo, se vuole che il calendario possa essere usato per tutto il terzo millennio? 

Soluzione:

La risposta è 28. Infatti, ci sono 4 tipologie di mese: 28, 29, 30 o 31. Un mese in qualsiasi tipologia può cominciare con uno dei sette giorni della settimana. Quindi sono possibili sette sole pagine per ogni mese. Cioè 4x7=28 pagine.

Serie numeriche

1) 3, 6, 11, 18, 27 … ?

2) 2, 4, 8, 14, 22 … ?

3) 3, 1, 7, 7, 11, 13, 15 … ?

4) 5, 10, 17, 26 … ?

5) 2, 5, 12, 27, 58 … ?

6) 4, 7, 12, 21, 38 … ?

7) 27  -  ?  -  45  -  54  -  63

8) 2  -  3  -  5  -  8  -  ?

9) 6  - 28  -  ?  -  14  -  96  -  7

10) 7  -  42  -  ?  -  270  -  273

11) ?  -  4  -  75  -  15  -  50  -  10

12) 4  -  16  -  7  -  49  -  1  -  ?

13) 6  -  4  -  10  -  14  -  ?

14) ?  -  27  -  64  -  125  -  216

15) 3  -  19  -  115  -  ?

16) 3,7,15,31,..?

17) 2,5,7,10,12,15,..?

18) 3,9,6,18,15,..?

19) 1,4,9,16,..?

20) 2,6,6,8,18,10,..?

21) 3, 7, 11, 15, ...?

22) 20, 28, 34, 38, ...?

23) 51 - 48 - 42 - 33 - ...?

24) 10 – 27 – 13 – 22 – 16 – 17…….?

25) 81 – 27 – 9 – 3 – ...?

26) 2, 3, 5, 9, 17, ...?

27) 5, 7, 2, 9, 9, 2, 7, ...?

28) 1, 1, 4, 8, ?, 27

29) 25, 5, 64, ?, 144, 12

30) 16, 10, 26, 13, 5, ?

Soluzioni commentate

1) Si aggiunge 3, 5, 7, eccetera. Il numero successivo è pertanto 38 (27+11).

2) Anche in questo caso la serie delle differenze è crescente: per generare ciascun termine dal precedente si aggiunge prima 2, poi 4, quindi 6, eccetera.  La successione continuerà pertanto con 32 (22+10).

3) Si tratta di un’alternanza tra due successioni aritmetiche, come meglio evidenziato di seguito: 3, 1, 7, 7, 11, 13, 15. A questo punto è facile vedere che la serie 3, 7, 11, 15 è aritmetica, di ragione 4 (ciascun termine si ottiene dal precedente aggiungendo 4); mentre la serie 1, 7, 13 … è anch’essa aritmetica, di ragione 6 e continuerà pertanto con 19.

4) La serie delle differenze è crescente: ciascun termine si genera dal precedente aggiungendo 5, poi 7, poi 9, dunque 11. La successione prosegue con 37.

5) Si moltiplica per 2, quindi si aggiunge prima 1, poi 2, quindi 3, eccetera. Il successore è pertanto 58*2+5, cioè 121.

6) Questa volta occorre moltiplicare per 2, quindi sottrarre 1, poi 2, eccetera. La successione continua pertanto con 38*2-5, cioè 71.

7) in questa serie crescente tutti i numeri sono legati in sequenza lineare da un'unica operazione matematica, ossia un’addizione che si ripete sempre uguale. Infatti dagli ultimi tre numeri si ha: (45+9 = 54+9 = 63). Dalle informazioni raccolte si può ricavare il numero incognito aggiungendo "9" al numero "27": (27+9 = 36). Prima di dare la risposta definitiva si verifica che il numero trovato (36) sommato a "9" dia come risultato proprio "45": (36+9 = 45). La risposta esatta è quindi 36. (N.B.: la stesso criterio può essere utilizzato per altre serie crescenti è prevista l'operazione di moltiplicazione o per serie decrescenti in cui è prevista la sottrazione o la divisione).

8) in questa serie ogni numero si ottiene da quello precedente sommato a numeri via via crescenti man mano che si procede nella serie. Infatti si ha (2+1 = 3); (3+2 = 5); (5+3 = 8). Ci aspettiamo che il prossimo incremento corrisponda a "+4". Verifichiamo: (8+4 = 12). La soluzione esatta è quindi 12.

9) questa serie prevede il collegamento dei numeri "a saltellli" tramite delle sottoserie completamente indipendenti tra loro. Il secondo numero (28) è legato al quarto (14) e al sesto (7) da un'unica operazione: (28:2 = 14:2 = 7). Non avendo altre informazioni dobbiamo aspettarci che nell'altra sottoserie anche il primo numero sia legato al terzo e al quinto da una stessa operazione: (6•4 = 24•4 = 96). La risposta corretta è 24.

10) in questa serie tutti i numeri sono legati da 2 operazioni matematiche che si ripetono alternativamente. Partiamo dalle informazioni a nostra disposizione: i primi due numeri sono legati da una moltiplicazione, infatti (7•6 = 42); gli ultimi due numeri sono collegati da un'addizione (270+3 = 273). Poichè vi sono ancora due collegamenti "da scoprire" (quello tra "42" e "?" e quello tra "?" e "270"), proviamo ad ipotizzare un'alternanza di operazioni "•6" e "+3". Quindi sommiamo "3" a "42": (42+3 = 45) e verifichiamo che la risposta sia esatta moltiplicando il risultato (45) ottenuto per "6": (45•6 = 270). La soluzione esatta è 45.

11) in questa serie i numeri sono legati a coppia mediante la stessa operazione e tra le varie coppie non vi è alcun collegamento. Procediamo nella risoluzione, considerando gli ultimi 4 numeri della serie: (75:5 = 15); (50:5 = 10). Quindi ci aspettiamo che anche i primi due numeri si ottengano con lo stesso criterio logico: (20:5 = 4). La soluzione esatta è quindi 20. (N.B.: la stesso ragionamento logico può essere utilizzato per altre serie in cui i numeri, presi a coppia, danno come risultato la stessa somma o la stessa differenza; ad es.: 35 - 13 - 29 - 19 - 20 - 28).

12) in questa serie i numeri sono legati a coppia mediante la stessa operazione. Il primo numero moltiplicato per se stesso dà come risultato il secondo numero e il terzo numero moltiplicato per se stesso dà come risultato il quarto numero, infatti: (4•4 = 16) → (7•7 = 49). In maniera simile si avrà la relazione matematica tra il quinto e il sesto numero (1•1 = 1). La soluzione esatta è quindi 1.

13) in questa serie ogni numero (tranne i primi 2) è dato dalla somma dei due numeri precedenti. Infatti (10 = 6+4) e (14 = 4+10). Ovviamente anche per l'ultimo numero della serie il ragionamento logico è lo stesso: (10+14 = 24). La soluzione esatta è 24.

14) in questa serie tutti i numeri sono dei cubi perfetti di numeri naturali consecutivi a partire dal numero 2. Infatti: (27 = 3•3•3); (64 = 4•4•4); (125 = 5•5•5); (216 = 6•6•6). L'unico cubo mancante nella serie numerica è (8 = 2•2•2). La soluzione esatta è 8. (N.B.: una tipologia di esercizio simile può prevedere la sequenza di quadrati perfetti di numeri consecutivi o non consecutivi).

15) in questa serie i numeri sono legati secondo questo criterio logico: ogni numero è legato a quello successivo da una combinazione di due operazioni matematiche che vanno eseguite consecutivamente l'una dopo l'altra. Infatti considerando i primi tre numeri si ha: (3•6 + 1 = 19) → (19•6 + 1 = 115) → (115•6 + 1 = 691). La soluzione esatta è quindi 691.

16) Notiamo come gli scarti siano in ordine: 4,8,16; la serie è perciò a "scarto progressivo" ed il successivo scarto sarà 32. Perciò la risposta è: 63

17) Notiamo come gli scarti siano in ordine: 3,2,3,2,3; la serie è perciò a "scarto alternato" ed il successivo scarto sarà 2. Perciò la risposta è: 17

18) Gli scarti sono: 6,-3,12,-3; ogni numero è legato a coppie dalla relazione x3. Perciò la risposta è: 45.

19) Questa non è altro che la successione dei quadrati. Perciò la risposta è: 25.

20) Siamo in presenza di 2 successioni diverse nei posti pari e dispari, se si leggono distintamente si ha: 2,6,18 e 6,8,10. La risposta va cercata nella prima serie che si definisce moltiplicando x 3 ogni numero. Perciò la risposta è: 54.

21) Osservando la serie proposta noterete che è una serie crescente, con incrementi pari a “+4”: 7,infatti, è uguale al precedente (al 3) incrementato di 4 (3 + 4 = 7); 11 è uguale al precedente (al7) incrementato di 4 (7 + 4 = 11); 15 è uguale al precedente (all’11) incrementato di 4 (11 + 4= 15). Seguendo questo ragionamento, il numero che completa la serie proposta è 19 perché15 + 4 dà come risultato 19.

22) Osservando la serie proposta noterete che è una serie crescente, con “incrementi decrescen-ti”: il secondo numero della serie (il 28) è uguale al precedente incrementato di “+8” (20 +8 = 28); il terzo (il 34), è uguale al precedente incrementato di “+6” (28 + 6 = 34); il quarto(il 38) è uguale al precedente incrementato di “+4” (34 + 4 = 38); dopo incrementi pari a“+8”, “+6” e “+4”, il quinto numero della serie andrebbe incrementato di “+2” rispetto al precedente  e  38  +  2  è  uguale  40.

23) n questo caso, la serie è decrescente e ogni numero è legato al precedente da un “decrementocrescentein valore assoluto”: il secondo numero della serie (il 48), infatti, è uguale al prece-dente ridotto di 3 (51 – 3 = 48); il terzo (il 42) è uguale al precedente ridotto di 6 (48 – 6 = 42);il quarto (il 33) è uguale al precedente ridotto di 9 (42 – 9 = 33); dopo decrementi pari a “–3”,“–6” e “–9”, il quinto numero della serie andrebbe ridotto di 12 rispetto al precedente e 33 – 12dà  come  risultato  21.

24) La serie proposta è mista, con i numeri di posto dispari che seguono la logica dell’incre-mento  costante  di  “+3”  e  i  numeri  di  posto  pari  che  seguono  la  logica  del  decrementocostante di “–5”: il terzo numero della serie proposta (il 13), infatti, è uguale al primo numeroincrementato di 3 (10 + 3 = 13); il quinto (il 16) è uguale al terzo incrementato di 3 (13 + 3 =16); il quarto (il 22), invece, è uguale al secondo ridotto di 5 (27 – 5 = 22); il sesto (il 17) èuguale al quarto ridotto di 5 (22 – 5 = 17); seguendo questo ragionamento, poiché il incognito è il settimo, ovvero un numero di posto dispari, per calcolarlo è necessario aggiun-gere 3 al quinto numero, ottenendo così 19 (16 + 3 = 19).

25) La serie proposta è decrescente, con andamento “esponenziale”, ovvero ogni numero è ugua-le ad un terzo del precedente (o, se preferite, al precedente diviso 3): il secondo numero dellaserie (il 27), infatti, è uguale al precedente diviso 3 (81 : 3 = 27); il terzo (il 9) è uguale alprecedente diviso 3 (27 : 3 = 9); il quarto (il 3) è uguale al precedente diviso 3 (9 : 3 = 3);seguendo questo ragionamento, il numero che completa la serie proposta è 1 perché 3 : 3 = 1.

26) La serie proposta è crescente, ma l’incremento segue una dinamica più complessa rispetto agliesempi  proposti  in  precedenza,  ovvero  ogni  numero  è  uguale  al  precedente  moltiplicatoper 2 e ridotto di uno: il secondo numero (il 3), infatti, è uguale al precedente moltiplicato per2 e ridotto di 1 (2 × 2 – 1 = 4 – 1 = 3); lo stesso vale per i numeri seguenti, compreso l’ultimoche è uguale a 33 perché moltiplicando il precedente, ovvero 17, per 2 e sottraendo al risultato.

27)  La  serie  proposta  è  un  esempio  di successione simmetrica e la principale difficoltà che comporta è l’individuazione del centro di simmetria, ovvero il punto a partire dal quale i numeri si ripetono in ordine invertito.La soluzione è 5.

28) E’ un serie che fa: 12=1, 13=1, 22=4, 23=8, 32=9, 33=27. La soluzione è quindi 9.

29) Il primo numero è il quadrato del secondo; il terzo numero è il quadrato del quarto…..La soluzione è quindi 8.

30) E’ una serie simmetrica. Partendo dai due numeri centrali si vede che 26 è il doppio di 13; proseguendo si ha che 10 è il doppio di 5; quindi la risposta è 8 che è la metà di 16.

Problemino divertente

Un problema molto particolare.

Problemi vari

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2. Tre formiche hanno tempi differenti per spostare dal granaio al formicaio un mucchietto di cibo.  La prima impiega 20 giorni,la seconda 30 e la terza 60.  Se un giorno le 3 formiche decidono di spostare un mucchietto di cibo lavorando in gruppo,quanti giorni impiegherebbero?

3. I gemelli Giacomo e Giovanno con il loro amico Filippo hanno puntato al totocalcio rispettivamente 10 euro, 8 euro e 6 euro, realizzando un’unica giocata. Dovendo ripartirsi proporzionalmente una vincita di 696 euro quanto spetta a ciascuno?

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5. Quante ore ci sono tra le 12:00 del 05/02/2016 e le 18:00 del 03/03/2016?

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